Андрей родился 22 июня 1962 года в поселке Сосновка Череповецкого района в семье Галины и Анатолия Завитухиных. Веселый и озорной уже в 5 лет катался на мопеде, в 6 ездил на лыжах. Как и все сельские дети, Андрей помогал по дому, ходил на сенокос с бабушкой и дедушкой. В период с 1969 по 1974 годы учился в Коротовской средней школе.
В 1974 году семья переехала в Вологду, где Андрей и закончил 8 классов и поступил в Вологодский железнодорожный техникум. Занимался в вологодском аэроклубе ДОСААФ, в котором прошел начальный курс обучения летчика-спортсмена, налетав 51 час 22 минуты на самолете Як-52. В 1981 году после окончания техникума железнодорожного транспорта, проработав некоторое время на ж/д станции города Юрьев, поступил в Саратовское ВВАУЛ. В городе Чирчик, куда он попадает после окончания летного училища, он знакомится со своей будущей женой Аллой. В браке у Андрея Завитухина и Аллы появляются дети, Никита и Аня.
Служил Андрей Анатольевич в вертолетных частях Туркестанского военного округа, группы Советских войск в Германии, а потом, с 1994 года, в Ленинградском военном округе на аэродроме «Аллакурти» Мурманской области. Во время службы занимал должности лётчика-оператора, командира вертолёта, старшего лётчика и командира вертолётного звена Ми-24.
26 сентября 1999 года Андрея Анатольевича отправляют на Северный Кавказ, для участия в контртеррористических действиях. Экипаж Завитухина выполнил 214 боевых вылетов с общим налётом 69 часов.
31 января 2000 года майор Андрей Завитухин и капитан Алексей Кириллин совершали свой очередной боевой вылет на вертолёте Ми-24, прикрывая транспортный Ми-8. После выполнения задания обе машины высоте 2400 метров попали под сильный огонь боевиков. В ходе этой атаки вертолёт Андрея Завитухина получив несколько повреждений и загорелся в воздухе. Спасая экипаж и пассажиров транспортного вертолёта, майор Завитухин направил пылающую огнем машину на зенитную установку боевиков… экипаж погиб!
Благодаря героическим действиям экипажа майора Завитухина А.А. были спасены экипаж вертолёта Ми-8, эвакуированная разведгруппа, спасательное отделение и бригада военных медиков.
Андрею Завитухину было всего 37 лет. Указом Президента РФ от 11.07.2000 г. за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга в Северо-Кавказском регионе, майору А. А. Завитухину и капитану А. Ю. Кириллину присвоено звание Героев России (посмертно). Государственную награду «Золотая Звезда» получал сын А. А. Завитухина — Никита.
Имена погибших героев навечно занесены в список личного состава части!
Так неохота сердцу и уму
Судьбы жестокой признавать ошибку.
Но не дано на свете никому
С лица стереть его улыбку.
Эта надпись высечена на памятнике, установленном на могиле Андрея Завитухина. Он похоронен на участке почетных захоронений на Пошехонском кладбище в Вологде. В поселке Алакуртти Мурманской области на территории воинской части, героическому экипажу вертолёта Ми-24 установлен памятник.
Именем Андрея Анатольевича Завитухина названы школы № 3 в поселке Алакуртти Мурманской области и № 13 в городе Вологда. В вологодской школе создан музей героя. Чтобы открыть музей, педагоги и ученики по крупицам собирали информацию, велась долгая исследовательская работа.